Transporte vibratorio - Parte 4
Parte 4: algunos ensayos variando el coeficiente de amplificación dinámica para corroborar su relación con la amplitud de las oscilaciones forzadas resultantes.
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Step 1: Amplitud de las oscilaciones forzadas
En el tutorial previo vimos que la relación "p/w" entre la frecuencia de las oscilaciones forzadas "p" (que depende de la velocidad de la masa rotante) y la frecuencia natural de vibración "w" (que depende de la masa y la rigidez de los resortes) define al coeficiente de amplificación dinámica "Beta".
Este coeficiente, a su vez, determina el valor de amplitud de las oscilaciones junto con el valor "Xest" de la flecha o deformación estática del sistema que, a su vez, depende de la masa rotante "Mm", su radio de excentricidad "R" y su velocidad de giro "n".
La amplitud de las oscilaciones es muy importante para el proceso de transporte vibratorio ya que determina "el tamaño de los saltos" que va dando el objeto transportado sobre la mesa.
Más precisamente, determina la altura de esos saltos porque el avance efectivo también depende del rozamiento entre el objeto y la mesa, y de la rigidez superficial de ambos (que puede generar rebotes).
En nuestro caso, el coeficiente de amplificación dinámica arroja:
Beta = 1 / ( 1 - (5 Hz / 12.78 Hz )^2 ) = 1.18
Y la "flecha o deformación estática Xest" que provoca la masa rotante puede calcularse a partir de la "Fuerza = aceleración centrípeta * masa rotante":
F = w^2 * R * Mr = ( 31.41 rad/seg )^2 * 0.035 m * 2 Kg = 69 N
Dicha fuerza dividida por la rigidez de los resortes (horizontales o verticales, que son idénticos en este caso) da como resultado la "flecha o deformación estática":
Xest = 69 N / 20.000 N/m = 3.45 mm
Finalmente, de la expresión del "Beta" puede despejarse el valor de la amplitud "C" de la onda forzada:
C = Beta * Xest = 1.18 * 3.45mm = 4.07 mm (que es la amplitud que observamos en las gráficas tanto del movimiento vertical como del horizontal).
Podemos identificar visualmente, en forma aproximada, en qué punto de la curva de Beta nos encontramos, aprovechando para mencionar que la gráfica en realidad muestra "el valor absoluto de Beta" y por ello queda por encima del eje X:
Sería interesante ahora probar al menos un par de valores diferentes de la relación "p/w" para observar el crecimiento de las oscilaciones (en las cercanías de p/w = 1) y la reducción de amplitudes de oscilación cuando la relación p/w crece.
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Step 2: Aumento de amplitud por aumento de "n"
Podemos plantear un par de pruebas sencillas para corroborar las predicciones teóricas a partir de la amplificación dinámica Beta. Para ello hay que cambiar la relación "p/w" entre frecuencias natural y forzada. La frecuencia natural depende de la rigidez de los resortes y de la masa total en movimiento (Mf + Mm + Mi = 3.1 Kg), y no necesita ser modificada. Por otro lado, la frecuencia forzada puede cambiarse muy fácilmente modificando la velocidad de giro "n" de la masa rotante (conservando su valor de masa y de radio de excentricidad).
Como primer ejemplo se plantea un incremento de la frecuencia forzada "w" de modo tal que se acerque (sin llegar) a la situación de resonancia p/w = 1 a fin de apreciar el crecimiento de las oscilaciones. Luego, como segundo ejemplo, se incrementará mucho más la frecuencia forzada, para demostrar que la amplitud decrece en lugar de seguir creciendo.
Incremento de "p" gracias a duplicar la velocidad de giro (de 300 a 600 rpm):
Frecuencia angular p = 600 rpm = 600 * 2 * PI rad / 60 seg = 62.83 rad/seg
Período Tp = 2 * PI / 62.83 = 0.10 seg
Frecuencia por segundo Fp = 1 / 0.10 = 10 Hz
En el tutorial previo habíamos calculado las frecuencias naturales de vibración de la mesa, que arrojaron los siguientes valores:
Frecuencia angular w = Raíz ( 20.000 N/m / 3.1 Kg ) = 80.32 rad/seg
Período Tw = 2 * PI / Frecuencia angular = 2 * PI / 80.32 = 0.078 seg
Frecuencia por segundo Fw = 1 / T = 1 / 0.078 = 12.82 Hz
Relación p/w = 10 Hz / 12.82 Hz = 0.78
Beta = 1 / ( 1 - 0.78^2 ) = 2.5
Para obtener la amplitud es necesario recalcular la "flecha o deformación estática Xest" que ahora arroja un valor:
F = w^2 * R * Mr = ( 62.83 rad/seg )^2 * 0.035 m * 2 Kg = 276 N
Xest = 276 N / 20.000 N/m = 13.8 mm
C = Beta * Xest = 2.5 * 13.8mm = 34.5 mm (que es la amplitud que observamos en las nuevas gráficas tanto del movimiento vertical como del horizontal)
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Step 3: Disminución de amplitud por aumento de "n"
En esta segunda prueba veremos que el aumento de las revoluciones "n" termina por reducir la amplitud de las oscilaciones forzadas.
Incremento de "p" por mayor velocidad de giro (de 600 a 2.000 rpm):
Frecuencia angular p = 2.000 rpm = 2.000 * 2 * PI rad / 60 seg = 209 rad/seg
Período Tp = 2 * PI / 125.66 = 0.03 seg
Frecuencia por segundo Fp = 1 / 0.03 = 33 Hz
Relación p/w = 33 Hz / 12.82 Hz = 2.57
Beta = 1 / ( 1 - 2.57^2 ) = 0.18
La "flecha o deformación estática Xest" ahora arroja un valor:
F = w^2 * R * Mr = ( 209 rad/seg )^2 * 0.035 m * 2 Kg = 3.058 N
Xest = 3.058 N / 20.000 N/m = 153 mm
C = Beta * Xest = 0.18 * 153 mm = 27.5 mm (que es la amplitud que observamos en las nuevas gráficas tanto del movimiento vertical como del horizontal). Las gráficas ya no son muy precisas porque el período de las oscilaciones es muy pequeño y la cantidad de "frames per second" no logra corregir totalmente el problema de la forma de la onda. No obstante, se puede apreciar perfectamente que dichos picos están entre +27mm y -27mm, en total coincidencia con la predicción teórica:
Es interesante observar que el recurso de "incrementar la velocidad de giro" para tener vibraciones cada vez más amplias no funciona muy intuitivamente. Al principio las amplitudes crecen, incluso hasta el infinito al pasar por la zona de resonancia ( P = w ), pero luego empiezan a reducirse a pesar del incremento de la velocidad.
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Step 4: Próximos pasos
